矩阵基础

Mon, 10 Jul 2023 13:17:56 +0000

本文主要是一些关于矩阵的相对初等的内容，是考研期间做的完整考研线性代数归纳总结，目的是方便查阅。现在来看，这篇文章的主要任务是收纳若干关于矩阵的初级线性代数知识与技巧，对于线性空间、线性变换等内容，暂不涉及。在作者看来，这一部分的知识里理论的成分居多，读者如有需求，还是直接参考专业的线性代数或高等代数教材为好。

作者本科专业是数学与应用数学，后在学院内转去了统计学 (数理方向)，有一定的数学基础，所以最基本的概念等本文就不再赘述了😊例如矩阵转置及其性质、矩阵逆的定义等等。

本文集作者所学同时参考了大量的文献和网络资料，在整理和归纳时难免有所纰漏，如果发现有错误的内容可以邮件联系我以订正。

本文中凡是没有特别指明的，都限制在实数域上讨论。如果需要在线做一些矩阵运算，个人推荐 WolframApha；如果需要做一系列复杂矩阵运算，个人推荐 Mathematica。

矩阵

(数字) 矩阵只是一个数表，作者看来没有所谓本质：他只是一张表，我们要往里面装什么东西，比如实数、复数、矩阵甚至随机变量，或是定义某种“奇形怪状”的新运算，都是可行的——“矩阵是什么”这个问题，取决于“我们希望用矩阵做什么”；如果一定要问出个“本质”来，那可能是线性变换吧；尽管矩阵也可以代表一个线性方程组（的系数），(数字) 矩阵的某些性质从该角度看更为直观。如果把矩阵看成向量组，那么一些向量组问题的答案瞬间便水落石出。矩阵还有许多其他作用，在不同的场景下有不同的任务，这里就不一一列举了。

众所周知，左乘初等矩阵等于做相应的行变换，右乘初等矩阵等于做相应的列变换，那么什么时候只能做行变换，什么时候只能做列变换呢？

一般而言：

当把矩阵视为列向量的排列后，如果要直接确定线性相关的列向量之间的数量关系（例如已知某向量可以同时被两组向量线性表出，求该向量的值），则只能做初等列变换，因为只有列变换才是列向量间而不是其分量间的线性组合，保持了列向量的代数结构（但是可能会改变线性相关式$\sum k_i\alpha_i=0$的系数$\{k_i\}$）；
当把矩阵视为列向量的排列后，如果要确定列向量的极大线性无关组（也可以是判断线性相关性），则只能做初等行变换，因为就线性相关性而言，矩阵的行秩等于列秩，但如果做初等列变换就会改变列向量的位置，从而无法确定本来的列向量组中到底谁和谁线性相关；
当把矩阵视为线性方程的系数表时，如果要通过高斯消元法解方程，则只能做初等行变换，因为线性方程整体相加减不改变解的值，但如果做列变换则相当于把一个未知数的系数加到了另一个未知数上，破坏了线性方程的结构；

到底该行变换还是列变换，只是取决于目的是什么。例如第一个例子“已知某向量可以同时被两组向量线性表出，求该向量的值”，既可以将两个向量组视为列向量的排列而做初等列变换，也可以等价地认为两组向量依次列成的矩阵$A$与那个可以被同时表出的向量$b$构成的方程组$Ax=b$有解，从而利用高斯消元法对$A$做初等行变换。

矩阵等价

矩阵等价：如果矩阵$A$可以经有限次初等变换得到$B$，则$A\cong B$（矩阵等价）

上述条件等价于存在一系列初等矩阵$P_1,P_2,\cdots,P_n,Q_1,Q_2,\cdots,Q_m$，使得$A=P_1P_2\cdots P_nBQ_1Q_2\cdots Q_m$

注：矩阵乘法按“左行右列”规则计算，表现为做乘时是用左边的行向量点乘右边的列向量得到新矩阵的一个元素，也表现为左乘初等矩阵则对原矩阵做相应行变换、右乘初等矩阵则对原矩阵做相应列变换
同型矩阵等价的充要条件是秩相等（判断方法，矩阵等价的充要条件）

联系到定义：初等矩阵总是满秩而可逆的
若矩阵可逆则一定与$E$等价，从特征值角度看是特征值均非零，因此行列式不为$0$，故矩阵可逆；从初等矩阵角度看，他可以被视作为有限个代表初等行列变换的初等矩阵的复合（矩阵乘法），即可以由$E$经过有限次初等变换得到；也可以说该矩阵的对角矩阵一定为$E$
如果实矩阵$A$与$B$等价，那么$A^2$与$B^2$不一定等价，除非$A,B$中有一个矩阵为可逆矩阵

如果实矩阵$A$与$B$等价，那么$AB$与$AB$也不一定等价，除非$A,B$中有一个矩阵为可逆矩阵

如果实对称阵$A$与$B$合同，那么$A^2$与$B^2$合同

如果实对称阵$A$与$B$相似，那么$A^2$与$B^2$相似

之所以对两个等价的矩阵$A,B$不一定有$A^2$与$B^2$等价，是因为尽管$A^2$与$B^2$的特征值相等，但二者的秩却不一定相等。进一步讲，更本质的原因是二者零特征值的几何重数不一定相等。也就是说，即使$A,B$相似，从而$A,B$的零特征值有相同的代数重数与几何重数，则只能得出$A^2$与$B^2$的零特征值有相同的代数重数，但其几何重数可能是不相等的。对于命题“$AB$与$AB$也不一定等价”，原因同理；

最经典的例子是：
$$ \left\{\begin{aligned}&A=\left(\begin{matrix}1&1&\cdots&1\\0&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&\cdots&0\end{matrix}\right)_{n\times n}&&B=\left(\begin{matrix}1&1&\cdots&1\\-1&-1&\cdots&-1\\\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&\cdots&0\end{matrix}\right)_{n\times n}\\&A^2=A&&B^2=O\\&BA=A&&AB=O\end{aligned}\right. $$
其中
$$ r(A)=r(B)=1 $$$$ r(A^2)=1,\ \ \ \ r(B^2)=0 $$$$ r(BA)=1,\ \ \ \ r(AB)=0 $$
这个例子十分经典，务必了解

矩阵合同

矩阵合同：合同一定等价
矩阵合同：若存在可逆阵$C$，使得$C^TAC=B$，则$A\simeq B$（矩阵合同）

其中$C^TAC$称为$A$的合同变换，实对称矩阵经合同变换还是实对称矩阵

合同变换不要求$A,B$都是对称阵，但对称阵经合同变换只能是对称阵，非对称阵经合同变换只能是非对称阵
对称矩阵合同：对称矩阵若相似则一定合同
对称矩阵合同的充要条件：正负惯性指数相等；规范型相同
实对称矩阵$A$与他的逆$A^{-1}$合同，即二者具有相同的规范型，这是因为$A=AA^{-1}A=A^TA^{-1}A$
合同变换不改变正负惯性指数
等价关系：矩阵等价、相似与合同都是广义上的
等价关系（所以也有人认为矩阵等价应该译作相抵，以免与逻辑关系上的等价冲突），均满足自反性、对称性与传递性
相似必然合同，但合同不一定相似
在欧氏空间中，合同变换体现为在平面到自身的一一变换下，任意线段的长和它的像的长总相等

矩阵 on 二三事

矩阵基础

矩阵

矩阵等价

矩阵合同