考研数学（微积分）（下）

Tue, 16 May 2023 13:17:56 +0000

part Ⅱ主要内容为 不等式、常微分方程 (ODE)、级数理论 和 多元函数微积分，包括工具定理、计算方法与部分证明，以例题辅助解释。

常用常数

任何正数的任意根次之值$\sqrt[k]{a}=x_0\Leftrightarrow f(x_0)=x^k_0-a=0$都可以用牛顿-辛普森优化算法计算：$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}=\frac1k\left((k-1)x_n+\frac a{x^{k-1}_n}\right)$，特别的对于二次根式$\sqrt{a}=x$有$x_{n+1}=\frac12\left(x_n+\frac a{x_n}\right)$；非多项式函数不方便笔算，也可以类似地考虑切线法、不动点法等其他优化算法计算其数值解（要是有计算机，利用已有的库现写一个BFGS算法也不是难事）。不过简便起见，本文提供一些常见的常数以供查阅，略去计算的步骤。

$\pi\approx3.141593$；

展开/收起 π 的一些极限/级数式

$$ \pi=\lim\limits_{\,n\to\infty}n\sin\frac{180\degree}{n} $$$$ \pi=\lim\limits_{n\to\infty}2^n\underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt2}}}}}_{n-1\text{ squre roots}} $$

$e=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n\approx2.718282$；
$\gamma=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sum\limits^n_{k=1}\frac1k-\ln n\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\displaystyle{\int^1_0\frac{1-x^n}{1-x}\mathrm{d}x-\ln n}\right)\approx0.577216$；
$\pi^2\approx8.824978$；
$e^2=7.389056$；
$\sqrt2\approx1.414214$；
$\sqrt{e}=1.648721$；
$\sqrt3\approx1.732051$；
$\sqrt{\pi}=\displaystyle{\int_{\mathbb{R}}e^{-x^2}\mathrm{d}x=2\,\Gamma\big(\frac12\big)\approx1.772454}$；
$\sqrt5\approx2.236068$；
$\sqrt7\approx2.645751$；
$\sqrt{11}\approx3.316625$；
$\sqrt{13}\approx3.605551$；
$\ln2\approx0.693147$；
$\ln3\approx1.098612$；
$\ln5\approx1.609438$；
$\ln7\approx1.945910$；

不等式综述

不等式在分析学中是极其重要的，某种意义上，数学分析和实分析是玩弄不等式的艺术。

多元不等式

多元不等式更“普适”、更“普通”，例如柯西不等式和$x>0$时$\sin x\lt x$的区别。

排序不等式

$$ \text{倒序和 }\leqslant\text{ 乱序和 }\leqslant\text{ 顺序和} $$

设长度为$n$的有限数列$\{a_i\}$与$\{b_i\}$单调递增，即$a_1\leqslant a_2\leqslant\cdots\leqslant a_n$、$b_1\leqslant b_2\leqslant\cdots\leqslant b_n$，则

$$ \sum^n_{i=1}a_ib_{n-i+1}\leqslant\sum^n_{i=1}a_ib_{k_i}\leqslant\sum^n_{i=1}a_ib_i $$

其中$\{b_{k_i}\}$是$\{b_i\}$中元素的任意乱序排列。

排序不等式的证明（配合Abel变换）

切比雪夫的和不等式

切比雪夫不等式的离散形式是排序不等式的推广。

考研数学（微积分）（上）

Thu, 06 Apr 2023 18:23:33 +0000

想了想，还是写Markdown更容易保存；作为考研高数的完整笔记，内容多了以后电子文档增删查改起来容易些。

part Ⅰ主要内容为极限与 一元微积分，涉及较多方面。

只要数学家名称与定理名称较为常见、有广为接受的中文翻译，就都用中文表示了；两篇文章都主要限定在$\mathbb{R}$上讨论，后文不再强调了。移动端阅读体验可能比较糟糕，尤其是用手机浏览长公式时。

如有纰漏，可以邮件联系我以订正。为了不影响主干内容的连贯，部分例题被折叠了起来。

注意

可证明，对$f(x)^{g(x)}$形式的式子，是可以直接对$f(x)$与$g(x)$运用泰勒公式的（只要运用正确，精度足够），自然对所谓的“等价无穷小”也是成立的，这在求极限中非常实用、方便；
第一、第二数学归纳法是极其好用的工具，需要熟练掌握并学会灵活运用（实为严格的演绎法）。归纳法不仅能运用在定理证明中，甚至可以配合单调有界定理证明数列极限的存在性。

例如设$1\lt a\leqslant e^{\frac1e}$，$x_1=a$，且当$n>1$时有$x_n=a^{x_{n-1}}$，试证极限$\lim\limits_{n\to\infty}x_n$存在。

观察到$x_2=a^{x_1}=a^a>a=x_1$，于是猜想$\{x_n\}$可能单调递增；做归纳假设$x_n>x_{n-1}$成立，则有$x_{n+1}=a^{x_n}>a^{x_{n-1}}=x_n$，因此由第一归纳法，数列$\{x_n\}$确为单调递增。下证数列有界，首先有$x_1=a\leqslant e^{\frac1e}\lt e$，再次运用归纳法，假设$\forall n\lt k,\ x_n\lt e$，则$x_{n+1}=a^{x_n}\lt a^e\leqslant e$，同时容易知道$\forall n,\ x_n>1$，因此数列有界；最后，根据单调有界定理可知，该数列极限存在。
在点$x_0$处使用泰勒公式的条件：$f(x)$在含点$x_0$的某个开区间$(a,b)$内有$n+1$阶导数，则$f(x)$可以按$(x-x_0)$展开到$n$阶；
求极限$\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$时使用洛必达法则的条件：除了要求分子分母满足不定式条件，$f(x)$与$g(x)$的导数在$a$的某个邻域内应均存在，且导数比值的极限为一广义常数$A$时，才有$\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A$成立；其中$A$可以是无穷大。
不要混淆了记号。$\lim\limits_{x\to {x_0}^+}f(x)$与$f(x_0+0)$均为右极限的记号，定义为：$\forall \varepsilon>0$，$\exists\delta>0$，$s.t.\,\,$当$0\lt x-x_0<\delta$时，有$|f(x)-A|<\varepsilon$，则称$A$为$f(x)$在点$x_0$处的右极限。从实数轴上看，右极限是“从数轴的右侧逼近”、“从数轴的正侧逼近”的单侧极限，与之对应的是左极限。

但是一般而言，导数的右极限$\lim\limits_{x\to {x_0}^+}f(x)$存在不等价于右导数$f'_+(x)$存在！！！导数的左极限与左导数的关系同理。
数学辅助工具上，个人十分推荐 Mathematica：无论是优化问题、矩阵求逆等数值计算，还是不定积分、微分方程、泰勒 / 洛朗级数等符号计算，Mathematica都能处理自如；此外，微软用Python语言开发的 Z3 也是一个强大的工具。Wolfram|Alpha 是基于Mathematica的，提供了图形化的在线网页界面，可以十分方便地进行常见的运算，让初学者不需要任何代码也可以借助计算机完成一些数学计算。

对于函数图像，可以通过 Desmos 简单绘制，Desmos同样提供了在线网站，可以便捷得画出简单或复杂函数的图像。如果对一些简单函数如$\arccos x$的图像不熟悉，可以通过Desmos直接画出其图像；对一些相对复杂的函数Desmos也能胜任，甚至还能从中看出函数在间断点的极限。

初等数学简记

二项式定理：$\forall n\in\mathbb{N}^+$，$(a+b)^n=\sum\limits^n_{k=0}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$；
$n$次方的差公式：$\forall n\in\mathbb{N}^+$，$a^n-b^n=(a-b)\sum\limits^{n-1}_{k=1}a^{n-k}b^k$
- 特别地，平方差公式的一个有趣应用是对根式差极限的处理：$\sqrt{f(x)}-g(x)=\frac{f(x)-g^2(x)}{\sqrt{f(x)}+g(x)}$；
- 当$b=1$时，有：$(x-1)^n=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1)$
令上式$b:=-b$则得到$n$次方和公式，注意当$n$为正偶数时$a^n+b^n=0$没有实数根，自然也不能在$\mathbb{R}$内分解因式。当$n$为奇数时，有：$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\cdots-ab^{n-2}+b^{n-1})$；
- 特别地，当$b=1$且$n$为奇数时，有：$(x+1)^n=(x+1)(x^{n-1}-x^{n-2}+\cdots+a^2-a+1)$；
中学数列通项求法大全：高中数学：求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）
一般$2$元$2$次方程解法：对于一般的$2$元$2$次方程组，可以将其改写为二次型的形式，
$$ \left\{\begin{aligned} &\ \ \ \ (x,y,1)\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{c}x\\y\\1\end{array}\right)=0\\ &\ \ \ \ (x,y,1)\boldsymbol{B}\left(\begin{array}{c}x\\y\\1\end{array}\right)=0 \end{aligned}\right. $$
其中$\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$是三阶实对称矩阵，

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